Résistance de matériaux

Loi de la RDM

La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation de solides arbres de transmission bâtiments, diverses pièces mécaniques ...) dans le but de déterminer ou vérifier leurs dimensions a fin qu'ils supportent les charges qu'ils subissent ,dans des conditions des sécurité satisfaisantes et au meilleur coût (optimisation des formes, des dimensions, des matériaux...). Son domaine d'application étant très large et les situation rencontrées nombreuses et variées, il est nécessaire de mettre en place des hypothèse simplificatrices dans le but de standardiser les cas d’étude.

La résistance des matériaux n'étudie que des solides de formes simples les " poutres "
par exemple. Bien souvent il est possible de modéliser des solides par une poutre, à la condition que ceux

Ce pont a été vérifié en Résistance des Matériaux pour :

- Assurer sa résistance sous son propre poids et celui des véhicules

- Assurer sa résistance en cas de forte tempête

- Optimiser sa forme et son coût

Cette bouteille a été vérifiée en Résistance des Matériaux pour :

- Assurer sa résistance lorsqu'elle est pleine,

- Assurer une résistance minimum en cas de chute,

- Minimiser son épaisseur pour faire des économies sur la matière première.

Définition des sollicitations

1. Notions de contraintes dans une section droite

Tout corps solide soumis à des efforts n’est strictement indéformable, tel que par exemple le ressort qui s’allonge sous un effet de traction et la planche qui plie sous une charge. Toute fois, si la charge n’est pas importante, les corps qui se déforment ne se rompent pas autant c à d qu’il s’établit à la fois un équilibre extérieur (déterminé par la statique graphique) et un équilibre intérieur (déterminé par la résistance des matériaux). Cet équilibre intérieur nous amène à définir la notion de contrainte

Considérons une poutre droite subissant plusieurs forces ponctuelles
Le point M étant le centre de l’élément de surfaceΔS de la section (S).
Δfi est appliquée àΔSet représente la force interne en M.
Le rapport Δfi/ΔS représente la force interne en M par unité de surface.
Unité de contrainte : Le Pascal noté (Pa=1N/m²)
Cette unité étant petite nous adoptons le Méga-pascal noté (MPa)
1MPa = 1N/mm²

2. Torseur de cohésion

L’action du tronçon droit sur le tronçon gauche est une action d’encastrement qui se modélise par un torseur d’inter-effort. La réduction de ce torseur au point G, centre de la section, est appelé torseur des forces de cohésion.

Composantes du torseur :N : effort normal Mt : moment de torsion
Ty : effort tranchant Mfy : moment fléchissant
Tz : effort tranchant Mfz: moment fléchissant

3. Définitions des sollicitations(simples et composées)

Une sollicitation mécanique est une action mécanique appliquée à une certaine structure considérée comme système matériel Ces sollicitations peuvent être simples ou composées
On dit qu’une sollicitation est simple quand elle engendre un torseur des efforts intérieurs ayant une seule composante de force «ou bien» de moment(N, T, Mt ou Mf)
Une sollicitation composée est donc une sollicitation qui engendre un torseur des efforts intérieurs ayant au moins deux composantes de force ou de moment.
Les cas de sollicitations simples et composées les plus courants sont donnés dans le tableau suivant :

Caractéristiques des matériaux :

Les caractéristiques des différents matériaux sont définies à partir d'essais effectués sur des éprouvettes normalisées. Le plus classique est l'essai de traction, qui permet d'établir, pour le matériau teste, une courbe "contraintes / déformation "

1. Courbes contraintes/déformations :

Pour un grand nombre de matériaux, la courbe obtenue présente l'allure ci-dessous :

L’éprouvette se comporte élastiquement (comme un ressort) et revient toujours à sa longueur initiale dès que la charge est relâchée. Le point A, auquel correspond la limite élastique Re, marque la fin de cette zone.
La proportionnalité entre la contrainte σ et la déformation ε se traduit par :
la loi de Hookeσ=E ε
E= tan αcaractérise la pente de la droite OA et σ=E εson équation
Zone de déformation plastique AE
On distingue encore trois zones BC, CD et DE. Dans la zone BC, parfaitement plastique, la contrainte reste constante et l’allongement se poursuit jusqu’en C. Entre C et D, zone d’écrouissage, le matériau subit un changement de structure qui accroît sa résistance. Le point D, auquel correspond la résistance maximale Rm, marque la fin de cette zone.
Enfin, entre D et E, l’éprouvette subit une striction amenant une diminution de la section avec étranglement. La rupture se produit au point E, auquel correspond la résistance à la rupture Rr

2. Définitions

On remarque une zone, appelée domaine élastique, ou le graphe est une droite (segment OA). Pour tous les points de cette droite, la déformation ε est proportionnelle à la contrainte σ(donc à l'effort exerce), et le matériau est parfaitement élastique.

• Allongement relatif, ou déformation ε

Lo : longueur avant déformation (mm)

L : longueur après déformation (mm)

Δ L : allongement de la poutre (mm) =L- Lo

• Module d'élasticité longitudinale E (ou module de Young) :

Cette grandeur caractérise la pente de la droite et l'élasticité du matériau dans le sens longitudinal, selon la proportionnalité entre contrainte et déformation (loi de Hooke) :

σ = E * ε

Unité : N/mm² (ou MPa)

Plus E est grand, plus le matériau est rigide et inversement.

Exemple : E aciers = 200 000 N/mm², E élastomères = 1 N/mm²

• Module d'élasticité transversal G (ou module de Coulomb) :

Caractérise l'élasticité du matériau dans le sens transversal de l'éprouvette. Cette grandeur est proportionnelle au module de Young, en fonction du coefficient de Poisson ν, propre à chaque matériau.

Unité : N/mm²

• Limite élastique Re :

Cette contrainte marque la fin du domaine élastique. Pour les valeurs supérieures, le matériau ne se déforme plus élastiquement, mais plastiquement ; il subsiste après déformation un allongement permanent.

• Striction

Soit So : Section initiale (calculée en mm2 à partir du diamètre « do » mesuré entre les deux repères A et B tracés sur l’éprouvette avant l’essai.

Soit Su : Section ultime (calculée en mm2 à partir du diamètre « du » mesuré à l’endroit de la cassure de l’éprouvette cassée.

On définit un autre indicateur sur la DUCTILITÉ du matériau en calculant LE COEFFICIENT DE STRICTION noté Z%.